Equation du second degré : Définitions, résolution en ligne et exercices corrigés
Résolution en ligne de l’équation du seconde degré.
Définition d’Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation de la forme ax2+ bx + c = 0 où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0. Une solution de cette équation s’appelle une racine du trinôme ax2+ bx+c.
Exemple : L’équation 3x2−6x−2 = 0 est une équation du second degré.
Définition discriminant d’équation du_second degré
On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c, le nombre réel, noté Δ, égal à b2 − 4ac. Exemple : Le discriminant de l’équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est :
∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60. En effet, a = 3, b = -6 et c = -2.
Comment résoudre l’équation du second degré ?
Résoudre une équation du second degré, c’est trouver toutes les solutions. On considère l’équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dont le discriminant est ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
- Si Δ < 0 : L’équation ax2 + bx + c = 0 n’a pas de solution réelle.
- Si Δ = 0 : L’équation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution : x0 = − b/2a
- Si Δ > 0 : L’équation ax2 + bx + c = 0 a deux solutions distinctes :
x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \quad et \quad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} Exercices corrigés sur l’équation du second degré
Exercice 1 : Cas du discriminant Δ > 0
Résoudre dans R : 2x2 + 3x − 14 = 0
Solution de l’exercice 1:
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = b2 − 4ac
∆ = 32 − 4 × 2 × (−14)
∆ = 9 + 112
∆ = 121
∆ = 112
Comme ∆ est positif, il existe deux solutions distinctes x1 et x2 :
x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \quad et \quad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} x_{1}=\frac{-3-11}{4} \quad ==> \quad x_{1}=-\frac{7}{2} x_{2}=\frac{-3+11}{4} \quad ==> \quad x_{2}=2Exercice 2 : Cas du discriminant Δ = 0
Résoudre dans R : 3x2 − 18x + 27 = 0
Solution de l’exercice 2 :
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = b2 − 4ac
∆ = 182 − 4 × 3 × 27
∆ = 324 − 324
∆ = 0
Comme ∆ est nul, il n’existe qu’une seule solution x0 :
x0 = −b/ 2a = −18/6 = 3
Exercice 3 : Cas du discriminant Δ < 0
Résoudre dans R : −x2 + 4x − 5 = 0
Solution de l’exercice 3 :
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = b2 − 4ac
∆ = 42 − 4 × (−1) × (−5)
∆ = 16 − 20
∆ = −4
Comme ∆ est négatif, il n’y a pas de solution dans R.
