Logarithme népérien – Calcul en ligne

Logarithme népérien - Calcul en ligne

Logarithme népérien : Calcul en ligne, définition, propriétés et exemple de calcul

Calcul en ligne du logarithme népérien

Définition de la fonction logarithme népérien

On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel x strictement positif, fait correspondre ln ( x ).

La fonction ln est définie sur l’intervalle ]0;+∞[

La fonction logarithme népérien, est la primitive sur ]0;+∞[ de la fonction  x —> 1/x et qui prend la valeur 0 pour x = 1.

Propriétés de la fonction logarithme népérien

  • ln(1) = 0
  • Pour tout réel x > 0, ln′(x) = 1/x
  • Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(a × b) = ln(a)+ln(b)
  • Pour tout nombre réel strictement positif a, ln(1/a) = −ln(a)
  • Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, ln(a/b) = ln(a)−ln(b)
  • Pour tout nombre réel strictement positif a, et pour tout entier relatif n, ln(an) = n ln(a)
  • Pour tout nombre réel strictement positif a, ln(a1/2) = ln(a)/2
  • Le domaine de définition de la fonction logarithme est D =]0;+∞[.
  • La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[ .
  • Pour tous réels a et b strictement positifs :
    • lna = lnb si, et seulement si, a = b
    • lna > lnb si, et seulement si, a > b
  • Pour tout réel x strictement positif :
    • lnx = 0 si, et seulement si, x = 1
    • lnx > 0 si, et seulement si, x > 1
    • lnx < 0 si, et seulement si, 0 < x < 1

Exemple

Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :

1- ln(x +2) = 2ln(x) sur I =]0;+∞[.

2- ln(2x −3)+ln(3) = 2ln(x) sur I =]3/2;+∞[.

3- ln(x)+ln(x +2) = ln(9x −12) sur I =]4/3;+∞[.

4- ln(3x −1)−ln(x) = ln(2) sur I =]1/3;+∞[.

Solution :

1- ln(x +2) = 2ln(x) sur I =]0;+∞[.

On a ln(x + 2) = 2ln(x) ⇐⇒ ln(x + 2) = ln(x2) ⇐⇒ x + 2 = x2 ⇐⇒ x2 − x − 2 = 0. On calcule alors le discriminant : ∆ = 1+8 = 9. Il y a donc deux racines qui sont :

x1 = −1 et x2 = 2

On ne garde que la solution qui est dans l’intervalle I =]0;+∞[. Il n’y a donc qu’une solution qui est x = 2.

2- ln(2x −3)+ln(3) = 2ln(x) sur I =]3/2;+∞[.

On a ln(2x −3)+ln(3) = 2ln(x) ⇐⇒ ln((2x −3)×3) = ln(x2) ⇐⇒ ln(6x −9) = ln(x2) ⇐⇒

6x + 9 = x2 ⇐⇒ x2 − 6x + 9 = 0. On calcule alors le discriminant : ∆ = 36 − 36 = 0. Il y a donc une seule racine qui est :

x0 = 3

De plus, 3 est bien dans l’intervalle ]3/2;+∞[ donc l’unique solution de l’équation considérée est x = 3.

3- ln(x)+ln(x +2) = ln(9x −12) sur I =]4/3;+∞[.

On a ln(x)+ln(x+2) = ln(9x−12) ⇐⇒ ln(x(x+2)) = ln(9x−12) ⇐⇒ ln(x2+2x) = ln(9x−12) ⇐⇒ x2 +2x = 9x −12 ⇐⇒ x2 −7x +12 = 0. On calcule le discriminant : ∆ = 49−48 = 1. Il y a donc deux racines qui sont :

x1 = 3 et x2 = 4

Ces deux racines sont dans l’intervalle ]4/3;+∞[ donc l’équation considérée admet deux solutions x = 3 et x = 4.

4- ln(3x −1)−ln(x) = ln(2) sur I =]1/3;+∞[.

On a ln(3x −1)−ln(x) = ln(2) ⇐⇒ ln(3x −1) = ln(2)+ln(x) ⇐⇒ ln(3x −1) = ln(2x) ⇐⇒

3x −1 = 2x ⇐⇒ x −1 = 0 ⇐⇒ x = 1. Or, 1 est bien dans l’intervalle ]1/3;+∞[ donc l’équation considérée admet x = 1 comme unique solution.

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