Plus petit commun multiple -PPCM : Calcul en ligne, définition, propriétés, règles et exemples de calcul
Calcul du plus petit commun multiple
Définitions
Multiple commun
On appelle multiple commun à deux nombres ou plusieurs nombres naturels tout nombre multiple de chacun d’eux.
Plus petit commun multiple (PPCM)
Le PPCM de deux entiers relatifs est le plus petit entier qui est strictement positif et est un multiple de deux nombres (si au moins un des deux nombres est zéro, on définit le PPCM comme zéro).
Exemple 1 :
Calculer le plus petit commun multiple de 3 et 4.
On a : .
- L’ensemble de multiples de 3 est : {3, 6,9, 12, 15, 1 8, 21, 24, 27, …}
- L’ensemble de multiples de 4 est : {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …}
- L’ensemble de multiples de 3 et 4 est : {12, 24, 36, 48,60, …}
Donc le plus petit commun multiple de 3 et 4 est 12 et on écrit : PPCM (3,4) : 12
Exemple 2 :
Calculer le plus petit commun multiple de 6 et g.
On a :
- L’ensemble de multiples de 6 est {6,12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
- L’ensemble de multiples de 8 est : {8, 16, 24,32, 40, 48, 56, 64, …}
- L’ensemble de multiples de 6 et 8 est : {24, 30, 48, 72, 96, …}
Donc le plus petit commun multiple de 6 et 8 est 24 et on écrit : PPCM (6,8) =24
Propriétés du plus petit commun multiple
- Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur PPCM est égale à leur produit.
- Si un nombre est un multiple d’un autre (ou des autres), alors le PPCM est toujours le plus grand des nombres.
- L’ensemble des multiples communs de a et de b est l’ensemble des multiples de leur PPCM.
- L’ordre des deux nombres, ou leur signe, n’as aucun effet sur le PPCM.
- La valeur PPCM (a, b) peut aller de max {|a|, |b|} à |ab| (on est dans le premier cas si et seulement si l’on a une divisibilité entre les nombres). Puisque ab est un multiple commun à a et b, le PPCM le divise.
- Si k est un entier naturel : PPCM(ka ; kb) = k ×PPCM (a ; b).
Comment trouver le plus petit commun multiple (PPCM) ?
Première méthode : la factorisation première
On recherche simultanément tous les diviseurs premiers communs ou non aux nombres jusqu’à ce que le quotient obtenu, dans tous les cas, soit 1. Si la division n’est pas exacte, on recopie le dividende intermédiaire.
Le plus petit commun multiple (PPCM) est alors le produit de ces diviseurs.
Exemple : déterminer le PPCM de 6 et 8, c’est-à-dire PPCM (6 ; 8)
| Entier 1 | Entier 1 | Diviseur | Commentaires |
| 8 | 6 | 2 | Ici, les deux naturels sont divisibles par 2, donc, tu les divises tous les deux |
| 4 | 3 | 2 | Ici, seulement 4 est divisible par 2, donc, tu recopies 3 et tu divises seulement 4 par 2. |
| 2 | 3 | 2 | Ici, seulement 2 est divisible par 2, donc, tu recopies 3 et tu divises seulement 2 par 2. |
| 1 | 3 | 3 | Ici, seulement 3 est divisible par 3, donc, tu recopies 1 et tu divises seulement 3 par 3. |
| 1 | 1 | C’est fini car les deux naturels obtenus égalent 1 |
Le PPCM (6 ; 8) est donc 2×2×2×3 = 24
Remarque : C’est la méthode que nous te conseillons car elle rapide et facile à retenir ! Que les nombres soient petits ou grands, que tu cherches le P.P.C.M. de deux ou plusieurs naturels, cette méthode est la plus efficace.
Deuxième méthode : la méthode des multiples
- On énumère les premiers multiples de chacun des nombres.
- On repère, en les soulignant, les multiples communs aux nombres.
- On repère, en le coloriant, le plus petit commun multiple non nul aux nombres.
Exemple : déterminer le PPCM (6 ; 8)
- Les multiples de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …}
- Les multiples 8 = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …}
Pour cet exemple particulier, cette méthode des multiples peut sembler plus rapide que la méthode de la factorisation première.
Remarque : La deuxième méthode est plus intuitive : elle est d’ailleurs vue en primaire. Cependant, en secondaire, nous te la déconseillons car elle n’est réellement pratique qu’avec de très petits nombres.
Troisième méthode : Utilisable si on a déjà calculé le PGCD
On utilise le fait que le produit du PPCM par le PGCD est égal au produit des deux nombres de départ.
Soient a et b deux entiers naturels : PPCM (a ; b) × PGCD (a ; b) = ab
Exemple :
- PPCM (84, 270) × PGCD (84, 270) = 84 × 270
- PPCM (84, 270) × 6 = 84 × 270
- PPCM (84, 270) = (84 × 270) /6 = 3780
Utilisation du plus petit commun multiple -PPCM
On utilise le plus petit commun multiple (PPCM) de certains nombres quand on s’occupe des multiples communs à ces nombres et qu’on est amené à chercher le plus petit de ces multiples.
Le PPCM de différents nombres est un multiple de chacun de ces nombres et est donc toujours supérieur ou égal à chacun de ces nombres.
On peut utiliser le plus petit commun multiple (PPCM) quand on a plusieurs fractions et qu’on veut transformer ces fractions pour qu’elles aient toutes le même dénominateur.
Exemples :
- Si on veut paver un carré (dont les côtés mesurent un nombre entier de cm) en juxtaposant des rectangles (tous disposés de la même manière) dont les côtés ont pour longueurs 24 cm et 60 cm et si on demande de chercher quelle est la valeur minimale possible pour la longueur du côté du carré, on cherche le PPCM de 24 et 60 car la mesure de la longueur du côté du carré en cm doit être un multiple à la fois de 24 et 60 ).
- Si on veut remplir un cube (dont les arêtes mesurent un nombre entier de cm) en juxtaposant des parallélépipèdes (tous disposés de la même manière) dont les côtés ont pour longueur 24cm, 40cm et 60 cm et si on demande de chercher quelle est la valeur minimale possible pour la longueur de l’arête du cube, on cherche le PPCM de 24, 40 et 60 car la mesure de la longueur de l’arête du cube en cm doit être un multiple à la fois de 24,40 et 60).
- Si on cherche un nombre de taille minimale ayant telle ou telle propriété, on pense plutôt au PPCM.
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