Equation du premier degré à une inconnue

Equation du premier degré - en ligne

Résolution de l’équation du premier degré à une inconnue

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Equation du premier degré à une inconnue : Définitions, résolution en ligne et exercices corrigés

Résolution en ligne d’une équation du premier degré à une inconnue

ax+b = cx + d

x =

Définitions 

La notion d’équation est liée à la notion d’inconnue souvent nommée x. Cependant pour qu’il y ait équation cela ne suffit pas. Il faut avoir en plus une égalité et surtout qu’elle ne soit pas toujours vérifiée. On peut donner la définition suivante :

Définition 1 :

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation mettant en jeu des nombres relatifs et l’inconnue à la puissance 1.

Exemples :

  • 3x − 2 = x + 7 est une équation du premier degré à une inconnue x.
  • 5x − y = 0 n’est pas une équation à une inconnue, c’est une équation du premier degré à deux inconnues x et y.
  • x2 + 3 = 2x − 5 n’est pas une équation du premier degré car dans x2, x est à la puissance 2.
Définition 2 :

Dans une équation du 1er degré à une inconnue, les expressions situées de part et d’autre du symbole égal sont appelées les membres de l’équation.

  • L’expression située à gauche du symbole égal est appelée le premier membre.
  • L’expression située à droite du symbole égal est appelée le second membre.

Exemples :

3x − 2 = x + 7

  • 3x − 2 est le premier membre de l’équation.
  • x + 7 est le second membre de l’équation.
Définition 3 :

Deux équations du premier degré à une inconnue sont dites équivalentes si elles admettent la même solution.

Exemple :

a) 4x − 3 = 2x +1 et 5x − 6 = 4

Le nombre 2 est la solution de l’équation des deux équations donc elles sont équivalentes.

Résolution d’une équation du premier degré à une inconnue :

Résoudre une équation du premier degré d’inconnue x signifie trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité. Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.

Pour déterminer si un nombre est solution d’une équation d’inconnue x on remplace x par ce nombre et on observe si l’égalité est vérifiée. Dans la quasi-totalité des cas, une équation du premier degré à une inconnue a une seule solution.

Exemple :

Soit l’équation du premier degré

4x − 3 = 2x +1

Les nombres −1; 0 et 2 sont-ils solutions de l’équation donnée ?

Solution :

  • Si on remplace x par -1 alors :
    • Dans le premier nombre de l’équation : 4×(-1) – 3 = -7
    • Dans le second nombre de l’équation : 2×(-1) + 3 = 1
  • Si on remplace x par 0 alors :
    • Dans le premier nombre de l’équation : 4×(0) – 3 = -3
    • Dans le second nombre de l’équation : 2×(0) + 3 = 3
  • Si on remplace x par 2 alors :
    • Dans le premier nombre de l’équation : 4×(2) – 3 = 5
    • Dans le second nombre de l’équation : 2×(2) + 3 = 5

Conclusion : le nombre 2 est la solution de l’équation du premier degré 4x − 3 = 2x +1.

Principe de résolution d’une équation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue x, on transforme l’équation en une succession d’équations équivalentes jusqu’à obtenir une équation dont x est un des membres et un nombre relatif l’autre membre.

Ce nombre relatif est alors la solution de l’équation.

On dit qu’on isole x.

Exemple :

Résoudre l’équation du premier ordre suivante : 5x − 4 = 6x + 3.

Solution

  • 5x − 4 = 6x + 3 ==> 5x- 6x = 3 + 4
  • 5x − 4 = 6x + 3 ==> -x = 7
  • 5x − 4 = 6x + 3 ==> x = -7

Donc − 7 est la solution de l’équation 5x − 4 = 6x + 3

Propriétés

Propriété 1 :

Lors des opérations d’addition et de soustraction quand on passe un nombre de l’autre côté du symbole égal, on change son signe.

Exemples :

  • x − 4 = 5
  • x = 5 + 4
  • x = 9
  • 3x = 2x + 7
  • 3x − 2x = 7
  • x = 7
Propriété 2 :

Lors d’une multiplication quand on passe un facteur de l’autre côté du symbole égal, on divise par ce nombre.

Exemples :

  • -5x = 7
  • x = 7 / (-5)
  • x =-7/5
  • 2x = 9
  • x= 9/2

Propriété 3 :

Lors d’une division quand on passe le dénominateur de l’autre côté du symbole égal, on multiplie par ce nombre.

Exemples :

  • x/2 = 5
  • x =5×2
  • x = 10
  • x/(-3) = 8
  • x =8×(-3)
  • x = -24

Exercices corrigés sur l’équation du premier degré à une inconnue

Exercice 1 :

Résoudre l’équation 10x + 3 = 6x – 5

Solution

1) Résolution

  • 10x + 3 = 6x − 5
  • 10x − 6x = −5 − 3
  • 4x = −8
  • x = -8 / 4
  • x = -2

2) Vérification

  • 10 × (−2) + 3 = −20 + 3 = −17
  • 6 × (−2) − 5 = −12 − 5 = −17

3) Conclusion

− 2 est la solution de l’équation 10x + 3 = 6x − 5.

Exercice 2

Trouver 3 nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 984.

Solution

On posera comme inconnue le plus petit nombre.

On note x le plus petit nombre alors :

  • x+x+1+x+2 = 984
  • 3x+3=984
  • 3x=984-3
  • 3x = 981
  • x=981/3
  • x=327

Les trois nombres recherchés sont 327,328 et 329.

Exercice 3 :

Le réservoir d’une voiture est plein au un tiers. On rajoute 42 litres pour le remplir.

Quelle est sa contenance ?

Solution

On choisira comme inconnue la contenance totale du réservoir.

Soit x la contenance en litre de ce réservoir.

  • (1/3)x + 42 = x
  • (1/3)x – x = -42
  • (-2/3)x = – 42
  • X = (42 × 3) / 2
  • X = 63 L

Ce réservoir a une contenance de 63 litres.

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