Nombre d’arrangement : Définition, calcul en ligne, formule et exemple de calcul
Calcul du nombre d’arrangements
Définitions
- Un arrangement est une permutation de p éléments pris parmi n éléments distincts (p≤ n).
- Un arrangement sans répétition de p éléments parmi n revient à tirer, sans remise, p éléments dans un ensemble Ω de n éléments pour remplir les p cases d’une grille.
Comme il s’agit d’un tirage sans remise (ou tirage exhaustif), l’élément tiré n’est pas remis dans l’ensemble Ω et ne peut être tiré une autre fois. Ainsi, il y a n choix possibles pour remplir la première case et il reste n−1 choix possibles pour remplir la deuxième case, n − 2 choix possibles pour remplir la troisième case et ainsi de suite jusqu’à la case p pour laquelle il reste n − p + 1 choix possibles
- Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n est une disposition ordonnée de p éléments qui ne sont pas nécessairement discernables. Il revient à tirer, avec remise, p éléments dans un ensemble Ω de n éléments pour remplir les p cases d’une grille :
Comme il s’agit d’un tirage avec remise (ou tirage non exhaustif), l’élément tiré est, à chaque fois, remis dans l’ensemble Ω et peut être tiré un nombre infini de fois. Ainsi, il y a n choix possibles pour remplir la première case et il y a encore n choix possibles pour remplir la deuxième case, n choix possibles pour remplir la troisième case et ainsi de suite jusqu’à la case p
Exemple : les arrangements de 2 éléments pris dans {1, 2, 3, 4} sont {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 1}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 4}, {4, 1}, {4, 2}, {4, 3}.
Il y en a 12.
Comment calculer le nombre d’arrangements avec répétition ?
Soit Ω un ensemble composé de n éléments : card(Ω) = n. Nous constituons un échantillon E de taille p (card(E) = p) à partir des éléments de Ω. Si nous avons à choisir p éléments parmi n dans une disposition ordonnée (les places sont distinctes) et avec répétition (on peut choisir le même élément plusieurs fois), on dit qu’on a un arrangement de p éléments parmi n. Le nombre d’arrangement avec répétition est :
A_{n}^{p}=n^{p}Remarque : dans ce cas, il est possible que p > n.
Comment calculer le nombre d’arrangements sans répétition ?
Soit Ω un ensemble avec card(Ω) = n. On constitue un échantillon de taille p (p ≤ n), la disposition est ordonnée et sans répétition. On dit qu’on a un arrangement sans répétition de p éléments parmi n. Le nombre de p−arrangements d’un ensemble à n éléments est :
A_{n}^{p}= n\times (n-1)\times ....\times (n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}Réaliser un arrangement sans répétition des éléments de Ω, c’est déterminer un p−uplet (x1, . . . , xp) d’éléments de Ω deux à deux distincts. C’est aussi définir une application injective d’un ensemble E à p éléments dans Ω à n éléments.
Exemple de calcul du nombre d’arrangements
Exemple 1 :
On considère l’ensemble E = {a ; b ; c ; d ; e}.
Calculer le nombre d’arrangements à 3 éléments de E.
- Il existe 5 choix pour la 1ère lettre.
- La 1ère lettre étant fixée, il existe 4 choix pour la 2ème lettre. Car il n’y a pas répétition d’éléments.
- Les deux premières lettres étant fixées, il existe 3 choix pour la 3ème lettre.
En appliquant le principe multiplicatif, le nombre d’arrangements à 3 éléments de E est égal à : 5 × 4 × 3 = 60.
Exemple 2 :
1- Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ?
Réponse : (26) × (25) × (24) = 15600.
2- Combien de mots de 3 lettres peuvent être formés dans un alphabet de 26 lettres ?
Réponse : 263 = 17576, naturellement plus de possibilité qu’avec les arrangements.
