Calcul du nombre de combinaisons en ligne

Nombre de combinaisons : Définition, Formule calcul en ligne, propriétés et exemple de calcul

Calculateur du nombre de combinaisons

Définition

Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N. On appelle combinaison de p ∈ N éléments de E toute partie de E à p éléments. On note (ⁿ_p) le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble en contenant n (il se lit « p parmi n »). Les coefficients (ⁿ_p)sont appelés coefficients binomiaux.

Propriétés

∅ est la seule partie de E à 0 éléments, donc (ⁿ₀)= 1,
E est la seule partie de E à n éléments, donc (ⁿ_n)= 1 ;
(ⁿ_p)∈ N par définition ;
Si p > n, il ne peut y avoir de parties de p éléments d’un ensemble en contenant n, donc si p > n, (ⁿ_p)= 0.

Comment calculer le nombre de combinaisons?

Soit une expérience aléatoire effectuée sans remise, Soient p, n ∈ N tels que p ≤ n. le nombre de combinaisons possibles se calcule de la façon suivante :

\binom{n}{p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}

Cette formule donne le nombre de combinaisons de p éléments sélectionnés dans un ensemble de n éléments (p≤ n)

Démonstration

Les nombre d’ensembles ordonnés de p éléments d’un ensemble à n éléments est Aⁿ_p . Or il y a (ⁿ_p) manières de choisir une partie à p éléments dans un ensemble à n éléments, et p! manières d’ordonner les éléments dans chaque parties. Par le principe multiplicatif, on a donc l’égalité Aⁿ_p= p! (ⁿ_p) , d’où le résultat, sachant que Aⁿ_p= n!/(n − p)!.

Exemple

Le Loto : Il s’agit de choisir 7 nombres parmi 49. L’ordre ne comptant pas, on dénombre le nombre de parties de 7 éléments de l’ensemble {1, . . . , 49} de cardinal 49 : il y a donc (⁴⁹₇) possibilités, soit 85 900 584.