Calculateur de Déterminant
Définition du déterminant d'une matrice
Le déterminant d'une matrice est un nombre associé à une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes).On note généralement le déterminant det(A) ou ∣A∣.
Il est essentiel pour :
- Vérifier si une matrice est inversible (si det(A)=0).
- Résoudre des systèmes d'équations (Méthode de Cramer).
- Calculer des aires et des volumes.
Calcul de déterminant selon la dimension
Déterminant d’une matrice d'ordre 2 (2x2)
Pour\quad A= \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}on croise les produits :
\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=ad-bcExemple : Calculer le déterminant de la matrice suivante
\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
2 & 7 \\
\end{pmatrix}\det\begin{pmatrix}3 & 5 \\ 2 & 7\end{pmatrix}=3\times7-5\times2 = 21-10 =11Déterminant d’une matrice d'ordre 3 (3x3)
Pour\quad A= \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}\det (A) =aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh
La formule comporte 6 produits :
- 3 produits positifs
- 3 produits négatifs
Étapes de la méthode de Sarrus
On répète les deux premières colonnes à droite de la matrice et on calcule la somme des produits des diagonales descendantes moins la somme des produits des diagonales montantes.
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}Étape 1 : recopier les deux premières colonnes
\begin{matrix}
a & b & c &a&b\\
d & e & f &d&e\\
g & h & i &g&h\\
\end{matrix}Étape 2 : calculer les diagonales descendantes
On multiplie les éléments des diagonales descendantes de gauche à droite
- a×e×i
- b×f×g
- c×d×h
On additionne ces produits.
Étape 3 : calculer les diagonales montantes
On multiplie les éléments des diagonales montantes de droite à gauche
- c×e×g
- a×f×h
- b×d×i
On additionne ces produits.
Étape 4 : calcul final
Déterminant = (Somme descendante)−(Somme montante)
Exemple détaillé
Calculer le déterminant de la matrice suivante
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}Étape 1 : recopier les deux premières colonnes
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 &1&2\\
4 & 5 & 6 &4&5\\
7 & 8 & 9 &7&8\\
\end{matrix}Étape 2 : diagonales descendantes
- 1×5×9=45
- 2×6×7=84
- 3×4×8=96
Somme : 45+84+96=225
Étape 3 : diagonales montantes
- 3×5×7=105
- 1×6×8=48
- 2×4×9=72
Somme : 105+48+72=225
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix} = 225-225Donc
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix} = 0La matrice n’est pas inversible.
Cas général (n×n) : Développement de Laplace
On choisit une ligne (ou une colonne) et on développe en fonction des cofacteurs.
\det(A)= \sum_{j=i}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}det(M_{ij})Mij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j.
Astuce : Choisissez toujours la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros.
Comment calculer la médiane formule et exercices corrigés