Plus grand commun diviseur – PGCD en ligne

Plus grand commun diviseur - PGCD en ligne

Plus grand commun diviseur – PGCD : Calcul en ligne, Définitions, propriétés et exemples de calcul

Calculateur du plus grand commun diviseur -PGCD

Division euclidienne

La division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier consiste à trouver deux nombres entiers appelés le quotient et le reste tels que :

Dividende = (diviseur × quotient) + reste avec reste < diviseur

Le diviseur d’un nombre entiers

Soient a et b deux nombres entiers, b≠0. b est un diviseur de a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, autrement dit si :

a = b × un nombre entier positif

Exemple :

  • Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
  • Diviseurs de 90 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90.

Définition du plus grand commun diviseur – PGCD

Soit a et b deux entiers relatifs non tous nuls.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément d, appelé plus grand commun diviseur. On note : d = PGCD (a, b)

Exemple :

D’après l’exemple précédent, les diviseurs communs à 24 et à 90 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6.

Le plus grand est 6. Donc : PGCD (24 ; 90) = 6. Ce nombre est unique.

Propriétés du plus grand commun diviseur -PGCD

  • PGCD (a, b) = PGCD (b, a).
  • PGCD (a, b) = PGCD (|a|, |b|).
  • PGCD (a, 0) = |a| car 0 est multiple de tout entier.
  • Si b divise a alors PGCD (a, b) = |b|
  • Pour tout entier naturel k non nul, on a : PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b)

Exemples :

PGCD (30, 75) = PGCD (75, 30) et PGCD (−24, −18) = PGCD (24, 18).

PGCD (82, 0) = 82, PGCD (30, 5) = 5 et PGCD (240, 180) = 10 PGCD (24, 18) = 60.

Nombres premiers entre eux

On dit que a et b sont premiers entre eux si et seulement si : PGCD (a, b) = 1

Exemple

PGCD (15, 8) = 1 donc 15 et 8 sont premiers entre eux.

Remarque 

Ne pas confondre « nombres premiers entre eux » et « nombres premiers ». 15 et 8 ne sont pas premiers et mais sont premiers entre eux. Par contre deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.

Comment trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers positifs ?

Méthode “à la main”

On peut lister tous les diviseurs des deux nombres, puis ne retenir que les communs et enfin repérer le plus grand.

Cette méthode est simple et efficace sur de petits nombres, mais à éviter avec des grands nombres car on peut facilement oublier des diviseurs.

Exemples

Trouver le plus grand commun diviseur de 12 et 15 :

  • Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
  • Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.

Donc : PGCD (12 ; 15) = 3.

Trouver le plus grand commun diviseur de 25 et 50 :

  • Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
  • Les diviseurs de 50 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 ; 50.

Donc : PGCD (25 ; 50) = 25 (car 50 est un multiple de 25).

Méthode des soustractions successives

On peut appliquer la méthode des soustractions successives. Il s’agit de reprendre les deux derniers nombres de chaque ligne, puis de les soustraire dans le bon ordre jusqu’à obtenir zéro. Le PGCD est le dernier résultat non nul.

Exemple

Trouver le plus grand commun diviseur de 75 et 60.

  • 75 − 60 = 15
  • 60 − 15 = 45
  • 45 − 15 = 30 Attention à l’ordre !
  • 30 − 15 = 15 Idem ! – Dernier résultat non nul !
  • 15 − 15 = 0

Donc : PGCD (75 ; 60) = 15

Trouver le plus grand commun diviseur PGCD de 84 et 49.

  • 84 − 49 = 35
  • 49 − 35 = 14
  • 35 − 14 = 21
  • 21 − 14 = 7 Attention à l’ordre !
  • 14 − 7 = 7 Dernier résultat non nul !
  • 7 − 7 = 0

Donc : PGCD (75 ; 60) = 7.

Utilisation du plus grand commun diviseur PGCD

On utilise le PGCD quand on s’occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu’on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs.

Le PGCD de différents nombres est un diviseur de chacun des nombres et est donc toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.

Exemples :

  • Si on veut paver un rectangle dont les côtés ont pour longueurs 24 cm et 60 cm avec des carrés dont les côtés mesurent un nombre entier de cm et si on demande de chercher quelle est la valeur maximale possible pour la longueur du côté du carré, on cherche le PGCD de 24 et 60 car la mesure de la longueur du côté du carré en cm doit être un diviseur à la fois de 24 et 60 .
  • Si on veut remplir un parallélépipède dont les arêtes ont pour longueur 24cm, 40cm et 60 cm avec des cubes dont les arêtes mesurent un nombre entier de cm et si on demande de chercher quelle est la valeur maximale possible pour la longueur de l’arête du cube, on cherche le PGCD de 24, 40 et 60 car la mesure de la longueur de l’arête du cube en cm doit être un diviseur à la fois de 24 et 60.
  • Si on cherche un nombre de taille maximale ayant telle ou telle propriété, on pense plutôt au PGCD.

Voir aussi :

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